А9. (1 балл) Решить уравнение 2cos(x+π/3)=1.

Решение А9.

Уравнение: \( 2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 \)

Разделим обе части уравнения на 2:

\[ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \]

Известно, что \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \).

Следовательно, уравнение имеет вид:

\[ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

Общее решение уравнения \( \cos t = \cos \alpha \) имеет вид \( t = \pm \alpha + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( t = x + \frac{\pi}{3} \) и \( \alpha = \frac{\pi}{3} \).

Рассмотрим два случая:

1. \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)

\( x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)

\( x = 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

2. \( x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \)

\( x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)

\( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = 2\pi k \) или \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).