A9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $K$ и $M$ — середины диагоналей $B_1D_1$ и $AB_1$ граней $A_1B_1C_1D_1$ и $AA_1B_1B$ соответственно (см. рис.). Найдите объём куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если длина отрезка $KM$ равна $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: A9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $K$ и $M$ — середины диагоналей $B_1D_1$ и $AB_1$ граней $A_1B_1C_1D_1$ и…$ Фото задания

Accepted Answer

Обозначим длину ребра куба через $a$. Введём координаты: $A=(0,0,0)$, $B=(0,a,0)$, $A_1=(0,0,a)$, $B_1=(0,a,a)$, $D_1=(a,0,a)$.

Середина диагонали $B_1D_1$: $K=(\frac a2,\frac a2,a)$. Середина диагонали $AB_1$: $M=(0,\frac a2,\frac a2)$.

По формуле расстояния $KM=\sqrt{(\frac a2)^2+(\frac a2)^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Приравниваем данному значению: $\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, значит, $a=3$.

Объём куба: $V=a^3=3^3=27$.

Ответ: 27.