3. AB и BC — отрезки касательных, проведенные к окружности с центром O и радиусом, равным 10 см. Найдите BO, если ∠AOC = 60°.

Поскольку AB и BC - отрезки касательных к окружности с центром O, то углы ABO и CBO прямые, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, углы ABO и CBO равны 90 градусам. Обозначим радиус окружности как r, тогда OA = OC = 10 см. Рассмотрим четырехугольник ABCO. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам. Известно, что ∠ABO = 90°, ∠BCO = 90° и ∠AOC = 60°. Следовательно, ∠ABC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°. Так как BO - биссектриса угла ABC (по свойству касательных, проведенных из одной точки), то ∠ABO = ∠CBO = 120° / 2 = 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. В нем ∠ABO = 60°, OA = 10 см (радиус). Нужно найти BO. Можно использовать тангенс угла ABO: $$\tan(\angle ABO) = \frac{OA}{AB}$$ $$\tan(60^\circ) = \frac{10}{AB}$$ $$\sqrt{3} = \frac{10}{AB}$$ $$AB = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$ Теперь рассмотрим треугольник ABO. Используем теорему Пифагора: $$BO^2 = AB^2 + OA^2$$ $$BO^2 = (\frac{10\sqrt{3}}{3})^2 + 10^2$$ $$BO^2 = \frac{100 \cdot 3}{9} + 100$$ $$BO^2 = \frac{100}{3} + 100 = \frac{100 + 300}{3} = \frac{400}{3}$$ $$BO = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$ Ответ: $$BO = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$ см