2. В треугольнике ABC AB = 4 см, BC = 3 см, AC = 5 см. Докажите, что AB — отрезок касательной, проведенный из точки A к окружности с центром в точке C и радиусом, равным 3 см.

Для того чтобы доказать, что AB является отрезком касательной, проведенной из точки A к окружности с центром в точке C и радиусом 3 см, нужно показать, что BC является радиусом окружности, и что AB перпендикулярен BC. Из условия задачи известно, что BC = 3 см, что соответствует радиусу окружности. Проверим, является ли треугольник ABC прямоугольным. Если он прямоугольный, то выполняется теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае, если AC - гипотенуза, то: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ $$5^2 = 4^2 + 3^2$$ $$25 = 16 + 9$$ $$25 = 25$$ Так как равенство выполняется, то треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом при вершине B. Следовательно, AB перпендикулярен BC, и AB является отрезком касательной к окружности с центром в точке C и радиусом 3 см. Что и требовалось доказать.