4. Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 60° и MA = 9.

Поскольку MA и MB - касательные, проведенные из точки M к окружности с центром O, то OA перпендикулярен MA и OB перпендикулярен MB. Значит, углы OAM и OBM прямые (равны 90 градусам). Рассмотрим четырехугольник AOBM. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам. ∠AOB = 60°, ∠OAM = 90°, ∠OBM = 90°. Значит, ∠AMB = 360° - 60° - 90° - 90° = 120°. По свойству касательных, MA = MB = 9. Рассмотрим треугольники OAM и OBM. Они прямоугольные и равны по катету (MA = MB) и гипотенузе (OM - общая). Следовательно, углы AOM и BOM равны и составляют половину угла AOB, то есть ∠AOM = ∠BOM = 60° / 2 = 30°. В прямоугольном треугольнике OAM: $$\tan(\angle AOM) = \frac{AM}{OA}$$ $$\tan(30^\circ) = \frac{9}{OA}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{OA}$$ $$OA = 9\sqrt{3}$$ Таким образом, радиус окружности равен $$9\sqrt{3}$$. Теперь рассмотрим треугольник AOB. OA = OB (радиусы), и ∠AOB = 60°. Значит, треугольник AOB - равнобедренный с углом 60° при вершине O. Следовательно, это равносторонний треугольник, и OA = OB = AB. Значит, AB = $$9\sqrt{3}$$. Ответ: $$AB = 9\sqrt{3}$$