6. ABCD — прямоугольник DM = ?

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Известно, что угол ABM равен $$15^\circ$$, а сторона BC равна $$6\sqrt{2}$$. Требуется найти DM.

Так как ABCD - прямоугольник, то AD = BC = $$6\sqrt{2}$$.

Угол BAD равен $$90^\circ$$. Следовательно, угол MAD равен $$90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$$.

Рассмотрим треугольник ABM. Угол ABM равен $$15^\circ$$. Следовательно, угол AMB равен $$180^\circ - 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$$.

Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM.

Так как ABCD - прямоугольник, то AB = CD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. CD = AB, BC = $$6\sqrt{2}$$.

$$tg 15^\circ = \frac{CD}{BC}$$

$$CD = BC \cdot tg 15^\circ$$

$$CD = 6\sqrt{2} \cdot (2-\sqrt{3})$$

Тогда, AD = $$6\sqrt{2}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMD.

$$tg MAD = \frac{MD}{AD}$$

$$tg 75^\circ = \frac{MD}{6\sqrt{2}}$$,

$$MD = 6\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{3})$$

Ответ: DM = $$6\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{3})$$