59 ABCD трапеция МN-20 средняя линия COK?

В трапецию ABCD вписана окружность. MN - средняя линия, MN = 20.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$MN = \frac{BC + AD}{2}$$

$$20 = \frac{BC + AD}{2}$$

$$BC + AD = 40$$

По условию задачи в четырехугольник ABCD вписана окружность. По свойству описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны, то есть:

$$BC + AD = AB + CD$$

$$AB + CD = 40$$

В трапеции углы при основании равны 60 градусов, следовательно, трапеция равнобедренная и AB = CD. Тогда:

$$2 \cdot AB = 40$$

$$AB = 20$$

Рассмотрим треугольник AOK. AO - биссектриса угла A, KO - биссектриса угла D. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне равна 180 градусов.

$$ \angle A + \angle D = 180^\circ$$

Сумма половин углов A и D равна половине от 180 градусов:

$$ \frac{1}{2} (\angle A + \angle D) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$$

$$ \angle OAK + \angle OKD = 90^\circ$$

Рассмотрим треугольник AOK. Сумма углов треугольника равна 180 градусам:

$$ \angle OAK + \angle OKD + \angle AOK = 180^\circ$$

$$90^\circ + \angle AOK = 180^\circ$$

$$ \angle AOK = 90^\circ$$

Ответ: $$\angle AOK = 90^\circ$$