60 МNКР трапеция MP-NK, SMSKP-?

По условию задачи MNKP - трапеция, в которую вписана окружность с радиусом, равным 5.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, то есть h = 2r = 2 * 5 = 10.

$$S_{MNKP} = \frac{NK + MP}{2} \cdot h = \frac{NK + MP}{2} \cdot 10$$.

По условию задачи MP = NK, следовательно,

$$S_{MNKP} = \frac{NK + NK}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot NK}{2} \cdot 10 = NK \cdot 10$$.

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, то есть угол M = углу N = 42 градусам.

Проведем высоту из вершины N на основание MP. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором угол при вершине M равен 42 градусам. Тогда

$$sin M = \frac{NH}{MN}$$

$$sin 42^\circ = \frac{10}{MN}$$.

$$MN = \frac{10}{sin 42^\circ}$$.

Трапеция описана около окружности, следовательно, суммы противоположных сторон равны:

$$MN + KP = NK + MP$$

Так как трапеция равнобедренная, то MN = KP, и NK = MP, тогда

$$2 \cdot MN = 2 \cdot NK$$

$$MN = NK = \frac{10}{sin 42^\circ}$$.

Найдем площадь трапеции:

$$S_{MNKP} = NK \cdot 10 = \frac{10}{sin 42^\circ} \cdot 10 = \frac{100}{sin 42^\circ}$$.

Ответ: $$\frac{100}{sin 42^\circ}$$