9 AC = BC cos ∠B = 13 1 AN -? CM A M N B C

Ответ: \(\frac{AN}{CM} = \frac{1}{3}\)

Разберемся:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AC = BC, то треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны, то есть \(\angle BAC = \angle ABC\).
2. Пусть \(\angle ABC = B\), тогда \(\cos B = \frac{1}{3}\) (дано).
3. В треугольнике BNC, \(\angle BNC = 90^\circ\), значит, \(\cos B = \frac{BN}{BC}\), откуда \(BN = BC \cdot \cos B = BC \cdot \frac{1}{3} = \frac{BC}{3}\).
4. В треугольнике AMB, \(\angle AMB = 90^\circ\), значит, \(\cos B = \frac{BM}{AB}\), откуда \(BM = AB \cdot \cos B = AB \cdot \frac{1}{3} = \frac{AB}{3}\).
5. Так как AB = BC (по условию AC = BC), то \(BM = BN\).
6. Тогда AN = AB - BN = BC - \(\frac{BC}{3} = \frac{2BC}{3}\).
7. CM = BC - BM = BC - \(\frac{BC}{3} = \frac{2BC}{3}\).
8. Найдем отношение \(\frac{AN}{CM} = \frac{\frac{2BC}{3}}{\frac{2BC}{3}} = 1\).

Ответ: \(\frac{AN}{CM} = 1\)