10 NQ = MQ NE -? QF N F Q 75°%E M

Ответ: \(\frac{NE}{QF} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Разберемся:

1. Так как NQ = MQ, то треугольник MNQ равнобедренный, следовательно, углы при основании равны, то есть \(\angle QNM = \angle QMN\).
2. Угол NME = 75°, значит, угол NMQ = 90 - 75 = 15°. Следовательно, \(\angle QNM = \angle QMN = 15^\circ\).
3. Тогда угол NQM = 180 - 15 - 15 = 150°.
4. В прямоугольном треугольнике NEQ: \(\angle NEQ = 90^\circ\), тогда \(\angle NQE = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ\).
5. В прямоугольном треугольнике QFM: \(\angle QFM = 90^\circ\), тогда \(\angle FQM = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ\).
6. В прямоугольном треугольнике NEQ: \(\sin 60^\circ = \frac{NE}{NQ}\), тогда \(NE = NQ \cdot \sin 60^\circ = NQ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).
7. В прямоугольном треугольнике QFM: \(\sin 15^\circ = \frac{QF}{MQ}\), тогда \(QF = MQ \cdot \sin 15^\circ = MQ \cdot \sin 15^\circ\).
8. Найдем отношение \(\frac{NE}{QF} = \frac{NQ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{MQ \cdot \sin 15^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 15^\circ}\), так как NQ = MQ.
9. \(\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \cdot \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).
10. Тогда \(\frac{NE}{QF} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{18} + 2\sqrt{6}}{6 - 2} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{4} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\).

Ответ: \(\frac{NE}{QF} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)