Аня хочет купить открытки. Если она купит 20 штук, то у неё останется 180 рублей. На покупку 45 открыток ей не хватает 170 рублей. Какое наибольшее число открыток может купить Аня? В ответе укажите только число.

Решение:

Обозначим цену одной открытки как \( x \) рублей, а общую сумму денег, которая есть у Ани, как \( M \) рублей.

Из условия задачи мы можем составить два уравнения:

1. Если Аня купит 20 открыток, у неё останется 180 рублей: \( M = 20x + 180 \).
2. Если Аня купит 45 открыток, ей не хватит 170 рублей: \( M = 45x - 170 \).

Теперь приравняем оба выражения для \( M \), чтобы найти цену одной открытки \( x \):

\( 20x + 180 = 45x - 170 \)

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числовые значения — в другую:

\( 180 + 170 = 45x - 20x \)

\( 350 = 25x \)

Теперь найдём \( x \):

\( x = \frac{350}{25} = 14 \) рублей.

Итак, цена одной открытки — 14 рублей.

Теперь найдём общую сумму денег у Ани, используя любое из первых двух уравнений. Используем первое:

\( M = 20x + 180 = 20 \times 14 + 180 = 280 + 180 = 460 \) рублей.

У Ани есть 460 рублей.

Чтобы узнать, какое наибольшее число открыток может купить Аня, нужно разделить её деньги на цену одной открытки:

\( \text{Количество открыток} = \frac{M}{x} = \frac{460}{14} \)

\( 460 \div 14 \approx 32.85 \)

Так как Аня может купить только целое число открыток, наибольшее количество открыток, которое она может купить, — это 32.

Ответ: 32