24 Аня, Таня и Ваня покупали ручки и линейки. Каждый из них купил ровно по 10 предметов. Аня купила вдвое больше ручек, чем Ваня линеек. Таня купила вдвое больше ручек, чем Аня линеек. В общей сложности они втроём купили чётное количество линеек. Сколько ручек купила Таня? (A) 2 (Б) 4 (B) 6 (Г) 7 (Д) 8

Ответ: 4

1. Обозначим количество ручек, которые купили Аня, Таня и Ваня как А, Т и В соответственно, а количество линеек как А_л, Т_л и В_л.
2. Запишем уравнения, исходя из условия:
   • A + А_л = 10
   • T + Т_л = 10
   • B + В_л = 10
   • A = 2В_л
   • T = 2A_л
3. Выразим А_л и Т_л через А и Т:
   • А_л = 10 - А
   • Т_л = 10 - Т
4. Подставим в уравнения A = 2В_л и T = 2A_л:
   • A = 2В_л => В_л = А/2
   • T = 2A_л => A_л = Т/2
5. Так как общее количество линеек четное, то А_л + Т_л + В_л = 2n, где n - целое число. Подставим выражения для А_л, Т_л и В_л: (10 - А) + (10 - Т) + А/2 = 2n 20 - А - Т + А/2 = 2n 20 - Т - А/2 = 2n
6. Сложим все ручки и все линейки вместе: А + Т + В + А_л + Т_л + В_л = 30 А + Т + В + 2n = 30 А + Т + В = 30 - 2n
7. Так как Т = 2A_л, то Т четное. Пусть Т = 2x, тогда А_л = x. Подставим это в уравнение 20 - Т - А/2 = 2n: 20 - 2x - А/2 = 2n
8. Если Аня купила 4 ручки, то А=4, и Ваня купил 2 линейки, так как A = 2В_л. Тогда 20 - 2x - 4/2 = 2n, 18 - 2x = 2n.
9. Если Аня купила 4 ручки, Таня купила 4 линейки. Тогда Таня купила 2*4 = 8 ручек. Подставим все значения в исходное уравнение: А + Т + В + А_л + Т_л + В_л = 30 4 + 8 + В + 6 + 2 + В_л = 30, где В + В_л = 10 12 + 6 + 2 = 20, значит Ваня купил 10 предметов, из которых 6 ручек и 4 линейки.
   • Количество ручек, купленных Таней: 8.

Ответ: 4