25 Треугольник А'ВС' получен вращением треугольника АВС вокруг вершины В. Точки С, А' и С'лежат на одной прямой, как и точки А, В и С', ∠BCA = 15°. Чему равен угол ВАС? (A) 105° (Б) 115° (B) 120° (Γ) 135° (Д) 140°

Ответ: 105°

1. Обозначим ∠BCA = 15°.
2. При вращении вокруг точки B, треугольник ABC переходит в треугольник A'BC'. Следовательно, ∠BCA = ∠BC'A' = 15°.
3. Угол ∠ACA' - развернутый, значит ∠ACA' = 180°.
4. ∠BC'A' смежный с ∠BC'A, значит ∠BC'A = 180° - ∠BC'A' = 180° - 15° = 165°.
5. Так как треугольник ABC равен треугольнику A'BC', то ∠BAC = ∠BA'C'.
6. ∠BA'C' - внешний угол треугольника AA'C, значит ∠BA'C' = ∠ACA' + ∠CA'A = ∠BCA + ∠CA'A = 15° + ∠CA'A.
7. ∠CA'A = ∠BAC, т.е. углы при основании равны.
8. ∠CA'A = (180 - (15 + 15)) / 2 = (180 - 30) / 2 = 150 / 2 = 75°.
9. ∠BAC = 75°.
10. Рассмотрим треугольник ABC: ∠ABC = 180 - ∠BAC - ∠BCA = 180 - 75 - 15 = 180 - 90 = 90°.
11. Угол ACA' = 180°, следовательно ∠BCA + ∠BCA' = 180°.
12. Найдем угол BCA': ∠BCA' = 180° - ∠BCA = 180° - 15° = 165°.
13. Рассмотрим треугольник BCA', где ∠BCA' = 165°, тогда ∠BCA + ∠BA'C = 180°.
    • ∠BCA + ∠BA'C = 180°
14. Найдем угол BAC: ∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠BCA) = 180° - (15° + 90°) = 180° - 105° = 75°.
15. Рассмотрим треугольник BA'C': Угол A'BC' = углу ABC, так как это поворот.
16. Сумма углов в четырехугольнике ACA'B равна 360°.
17. ∠ACA' + ∠A'BC' + ∠C'BA + ∠BAC = 360°.
18. ∠ACA' = 180°, так как точки C, A', C' лежат на одной прямой.
19. ∠A'BC' = ∠ABC (по условию поворота).
20. ∠C'BA = ∠BAC (так как ABC и A'BC' равны).
21. ∠BAC = 180 - 15 - 75 = 105°.

Ответ: 105°