5 AQMR ~ AQ1M1R1 PAM1Q1R₁ = 110

В задаче №5 дано, что треугольники \(\triangle QMR \) и \(\triangle Q_1M_1R_1 \) подобны. Периметр \(P_{\triangle Q_1M_1R_1} = 110\). Необходимо найти неизвестные стороны x, y, z.

Периметр треугольника \(\triangle Q_1M_1R_1 = x + y + z = 110\)

Стороны подобных треугольников пропорциональны, следовательно:

$$\frac{QM}{Q_1M_1} = \frac{MR}{M_1R_1} = \frac{QR}{Q_1R_1}$$

$$\frac{2}{x} = \frac{4}{z} = \frac{5}{y}$$

Выразим стороны x и z через y:

$$x = \frac{2y}{5}$$,

$$z = \frac{4y}{5}$$

Подставим в формулу периметра:

$$\frac{2y}{5} + y + \frac{4y}{5} = 110$$

$$\frac{2y + 5y + 4y}{5} = 110$$

$$\frac{11y}{5} = 110$$

$$y = \frac{110 \cdot 5}{11} = 10 \cdot 5 = 50$$

$$x = \frac{2 \cdot 50}{5} = 2 \cdot 10 = 20$$

$$z = \frac{4 \cdot 50}{5} = 4 \cdot 10 = 40$$

Ответ: x = 20, y = 50, z = 40