Арифметическая прогрессия 4, 7, 10... и геометрическая прогрессия 2, 4, 8... имеют по 40 членов. Сколько одинаковых членов в обеих прогрессиях?

Арифметическая прогрессия: $$a_n = 4 + (n-1)3 = 3n + 1$$ Геометрическая прогрессия: $$b_n = 2^n$$ Оба имеют по 40 членов. Нужно найти, сколько членов совпадают. Перечислим члены обеих прогрессий до тех пор, пока члены арифметической прогрессии не превысят значения 40-го члена геометрической прогрессии. $$b_{40}=2^{40}$$ - это очень большое число, поэтому нужно найти другие способы. Совпадающие члены должны удовлетворять условию $$3n+1=2^k$$ для некоторых целых чисел $$n$$ и $$k$$. $$3n = 2^k - 1$$. Значит $$2^k - 1$$ должно делиться на 3. Проверим значения $$k$$: $$k = 1$$: $$2^1 - 1 = 1$$ (не делится на 3) $$k = 2$$: $$2^2 - 1 = 3$$ (делится на 3) $$k = 3$$: $$2^3 - 1 = 7$$ (не делится на 3) $$k = 4$$: $$2^4 - 1 = 15$$ (делится на 3) $$k = 5$$: $$2^5 - 1 = 31$$ (не делится на 3) $$k = 6$$: $$2^6 - 1 = 63$$ (делится на 3) Заметим, что $$2^k - 1$$ делится на 3, если $$k$$ чётное. То есть $$k = 2m$$ для некоторого целого $$m$$. Тогда $$3n = 2^{2m} - 1 = (2^m - 1)(2^m + 1)$$. Члены геометрической прогрессии: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ... Члены арифметической прогрессии: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, ... Совпадающие члены: 4, 16, 64, ... Это геометрическая прогрессия со знаменателем 4, то есть $$c_n = 4^n$$. Теперь нужно найти, сколько таких членов не превосходят 40-й член арифметической прогрессии: $$3 cdot 40 + 1 = 121$$. И сколько таких членов не превосходят 40-й член геометрической прогрессии: $$2^{40}$$. $$4^n \le 121$$ $$n \le \frac{\log 121}{\log 4} \approx 3.45$$ Значит, $$n = 1, 2, 3$$. (4, 16, 64) $$4^n \le 2^{40}$$ $$2^{2n} \le 2^{40}$$ $$2n \le 40$$ $$n \le 20$$ Так как $$n \le 3$$, то всего 3 одинаковых члена. Ответ: 3