3) АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О радиуса 6 см. Найдите периметр четырехугольника АВСО, если ∠ABC = 60°.

Дано: Окружность с центром О, OA = OC = 6 см (радиус), AB и BC - касательные, ∠ABC = 60°. Найти: P(ABCO) - периметр четырехугольника ABCO. Решение: 1. Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, следовательно AB = BC. 2. В четырехугольнике ABCO AO = OC = r, углы OBA и OBC прямые (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания). 3. Рассмотрим треугольник ABO: он прямоугольный, ∠ABO = 90°. Т.к. AB = BC и BO - биссектриса ∠ABC, то ∠ABO = ∠ABC / 2 = 60° / 2 = 30°. 4. В прямоугольном треугольнике ABO: $$\tan(\angle ABO) = \frac{AO}{AB}$$ $$\tan(30^\circ) = \frac{6}{AB}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{AB}$$ $$AB = 6\sqrt{3}$$ см. 5. Так как AB = BC, то BC = $$6\sqrt{3}$$ см. 6. Периметр четырехугольника ABCO равен: P = AB + BC + CO + OA = $$6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 6 + 6 = 12\sqrt{3} + 12 = 12(\sqrt{3} + 1)$$ см. Ответ: Периметр четырехугольника ABCO равен $$12(\sqrt{3} + 1)$$ см.