4) Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке Е. Найдите СЕ, если радиус окружности равен 6 см.

Дано: Окружность с центром в точке O, радиус равен 6 см, ∠BAC = 30°, EC - касательная. Найти: CE. Решение: 1. ∠BAC = 30°, следовательно, ∠BOC = 2 * ∠BAC = 2 * 30° = 60° (центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу). 2. Треугольник OСE прямоугольный, т.к. EC - касательная (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания), ∠OCE = 90°. 3. Треугольник OCB равнобедренный (OC = OB = радиус), значит, ∠OBC = ∠OCB = (180° - ∠BOC) / 2 = (180° - 60°) / 2 = 120° / 2 = 60°. 4. ∠ECA = ∠CBA = 60° (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду). 5. В прямоугольном треугольнике EСO ∠CEO = 180° - ∠OCE - ∠EOC. ∠EOC = ∠EOB + ∠BOC. Угол ∠EOB смежный с углом ∠COB, значит ∠EOB = 180 - 60 = 120. ∠EOC = 120 + 60 = 180. 6. Получается, что точки E, O и C лежат на одной прямой, но точка Е лежит на прямой АВ, значит прямая АВ должна совпадать с диаметром АС, что не возможно, так как угол ∠ВАС равен 30°. В условии ошибка и касательная пересекает продолжение прямой АВ за точку В. 7. Если касательная пересекает продолжение прямой АВ за точку В, то ∠COE = 180 - ∠ECA - ∠OCE = 180 - 60 - 90 = 30°. 8. Рассмотрим треугольник CEO, где ∠OCE = 90°, OC = 6, ∠CEO = 30°. Тогда: $$\tan(\angle CEO) = \frac{OC}{CE}$$ $$\tan(30^\circ) = \frac{6}{CE}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{CE}$$ $$CE = 6\sqrt{3}$$ см. Ответ: CE = $$6\sqrt{3}$$ см.