АЗ. Найдите промежутки возрастания и убывания функции y = x/5 + 5/x

Решение:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции \( y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x} \), найдем ее производную:

\[ y' = \left( \frac{x}{5} + \frac{5}{x} \right)' = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2} \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2} = 0 \]\[ \frac{1}{5} = \frac{5}{x^2} \]\[ x^2 = 25 \]\[ x = \pm 5 \]

Теперь исследуем знаки производной на интервалах:

• При \( x < -5 \), например \( x = -6 \): \( y' = \frac{1}{5} - \frac{5}{(-6)^2} = \frac{1}{5} - \frac{5}{36} = \frac{36-25}{180} = \frac{11}{180} > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -5 < x < 0 \), например \( x = -1 \): \( y' = \frac{1}{5} - \frac{5}{(-1)^2} = \frac{1}{5} - 5 = \frac{1-25}{5} = -\frac{24}{5} < 0 \). Функция убывает.
• При \( 0 < x < 5 \), например \( x = 1 \): \( y' = \frac{1}{5} - \frac{5}{1^2} = \frac{1}{5} - 5 = -\frac{24}{5} < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 5 \), например \( x = 6 \): \( y' = \frac{1}{5} - \frac{5}{6^2} = \frac{1}{5} - \frac{5}{36} = \frac{11}{180} > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -5) \) и \( (5, +\infty) \). Функция убывает на интервалах \( (-5, 0) \) и \( (0, 5) \).