В1. Найдите наименьшее значение функции у=х³-27х+11 на отрезке [0;4]

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = x^3 - 27x + 11 \) на отрезке \( [0; 4] \), нужно вычислить значения функции в критических точках, попадающих в этот отрезок, и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции:
\[ y' = (x^3 - 27x + 11)' = 3x^2 - 27 \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
\[ 3x^2 - 27 = 0 \]\[ 3x^2 = 27 \]\[ x^2 = 9 \]\[ x = \pm 3 \]

3. Из критических точек \( x = 3 \) и \( x = -3 \) только \( x = 3 \) попадает в отрезок \( [0; 4] \).
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попавшей в отрезок:
• При \( x = 0 \): \( y(0) = 0^3 - 27 · 0 + 11 = 11 \)
• При \( x = 3 \): \( y(3) = 3^3 - 27 · 3 + 11 = 27 - 81 + 11 = -54 + 11 = -43 \)
• При \( x = 4 \): \( y(4) = 4^3 - 27 · 4 + 11 = 64 - 108 + 11 = -44 + 11 = -33 \)
5. Сравним полученные значения: 11, -43, -33. Наименьшее значение равно -43.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [0;4] равно -43.