ВЗ. Решите задачу: В цилиндре радиус основания равен 5см, высота 8см. Расстояние от оси до секущей плоскости, параллельной оси цилиндра, равно 3 см. Найти площадь сечения.

Решение:

Обозначим радиус основания цилиндра как \( r \), высоту цилиндра как \( H \). Расстояние от оси до секущей плоскости как \( d \).

По условию:

• \( r = 5 \) см
• \( H = 8 \) см
• \( d = 3 \) см

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником.

Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра \( H \).

Ширина этого прямоугольника равна длине хорды основания, лежащей в секущей плоскости. Найдем эту длину.

Рассмотрим основание цилиндра — круг радиусом \( r \). Секущая плоскость отсекает хорду. Расстояние от центра круга (оси цилиндра) до хорды равно \( d \). Образуется прямоугольный треугольник, где гипотенуза — радиус \( r \), один катет — расстояние \( d \), а другой катет — половина длины хорды \( \frac{b}{2} \), где \( b \) — ширина прямоугольника-сечения.

По теореме Пифагора:

\[ r^2 = d^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 5^2 = 3^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 \]\[ 25 = 9 + \frac{b^2}{4} \]\[ 25 - 9 = \frac{b^2}{4} \]\[ 16 = \frac{b^2}{4} \]\[ b^2 = 16 · 4 \]\[ b^2 = 64 \]\[ b = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Теперь найдем площадь сечения — прямоугольника со сторонами \( H \) и \( b \).

\[ S_{сеч} = H \cdot b = 8 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь сечения равна 64 см².