1 B 60° 10 A ? 45° C

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов.

Теорема синусов утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов данного треугольника.

В данном случае, нам известны сторона AB = 10 и два угла: ∠B = 60° и ∠C = 45°. Требуется найти сторону AC.

Сначала найдем угол A, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 45° = 75°

Теперь можем использовать теорему синусов для нахождения стороны AC:

$$\frac{AC}{\sin{B}} = \frac{AB}{\sin{C}}$$ $$\frac{AC}{\sin{60°}} = \frac{10}{\sin{75°}}$$ $$\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sin{75°}}$$ $$AC = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin{75°}}$$ $$AC = \frac{5\sqrt{3}}{\sin{75°}}$$

Значение \(\sin{75°}\) можно вычислить как \(\sin{(45° + 30°)}\):

$$\sin{75°} = \sin{(45° + 30°)} = \sin{45°}\cos{30°} + \cos{45°}\sin{30°} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Теперь подставим это значение в формулу для AC:

$$AC = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{6} - \sqrt{2}\):

$$AC = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 5\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 5(\sqrt{18} - \sqrt{6}) = 5(3\sqrt{2} - \sqrt{6}) = 15\sqrt{2} - 5\sqrt{6}$$

Приблизительное значение AC:

$$AC ≈ 15 \cdot 1.414 - 5 \cdot 2.449 ≈ 21.21 - 12.245 ≈ 8.965$$

Ответ: $$AC = 15\sqrt{2} - 5\sqrt{6} \approx 8.965$$