19 sin 8-? B δ 3 45" A 4 C

В данной задаче дан треугольник ABC, где известны стороны AB = 3 и AC = 4, а также угол ∠A = 45°. Необходимо найти \(\sin{\delta}\), где \(\delta\) - угол B.

Для решения воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{AB}{\sin{C}} = \frac{AC}{\sin{B}}$$

Нам нужно найти \(\sin{B}\), поэтому:

$$\sin{B} = \frac{AC \cdot \sin{C}}{AB}$$

Чтобы найти угол C, применим теорему синусов в виде:

$$\frac{\sin{A}}{BC} = \frac{\sin{C}}{AB} = \frac{\sin{B}}{AC}$$

Сначала выразим \(\sin{C}\) через известные значения:

$$\frac{\sin{45°}}{BC} = \frac{\sin{C}}{3}$$ $$\sin{C} = \frac{3 \cdot \sin{45°}}{BC} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{BC} = \frac{3\sqrt{2}}{2BC}$$

Теперь нужно найти BC. Воспользуемся теоремой косинусов:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{A}$$ $$BC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos{45°}$$ $$BC^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 25 - 12\sqrt{2}$$ $$BC = \sqrt{25 - 12\sqrt{2}}$$

Подставим значение BC в выражение для \(\sin{C}\):

$$\sin{C} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{25 - 12\sqrt{2}}}$$

Теперь найдем \(\sin{B}\):

$$\sin{B} = \frac{4 \cdot \sin{C}}{3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{25 - 12\sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{25 - 12\sqrt{2}}}$$

Ответ: $$\sin{\delta} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{25 - 12\sqrt{2}}}$$