13 B ? ? 45" 60 A 4 C

В данной задаче нам дан треугольник ABC, где известна сторона AC = 4, а также углы ∠A = 45° и ∠C = 60°. Требуется найти стороны AB и BC.

Для решения этой задачи можно использовать теорему синусов.

Во-первых, найдем угол B, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

$$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 45° - 60° = 75°$$

Теперь применим теорему синусов:

$$\frac{AB}{\sin{C}} = \frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AC}{\sin{B}}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{AB}{\sin{60°}} = \frac{BC}{\sin{45°}} = \frac{4}{\sin{75°}}$$

Найдем AB:

$$\frac{AB}{\sin{60°}} = \frac{4}{\sin{75°}}$$ $$AB = \frac{4 \cdot \sin{60°}}{\sin{75°}} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin{75°}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin{75°}}$$

Найдем BC:

$$\frac{BC}{\sin{45°}} = \frac{4}{\sin{75°}}$$ $$BC = \frac{4 \cdot \sin{45°}}{\sin{75°}} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin{75°}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin{75°}}$$

Ранее было вычислено, что \(\sin{75°} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), подставим это значение:

$$AB = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$ $$BC = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$

Упростим AB и BC, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{6} - \sqrt{2}\):

$$AB = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 2\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2(\sqrt{18} - \sqrt{6}) = 2(3\sqrt{2} - \sqrt{6}) = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$$

$$BC = \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 2\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2(\sqrt{12} - 2) = 2(2\sqrt{3} - 2) = 4\sqrt{3} - 4$$

Ответ: $$AB = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$$, $$BC = 4\sqrt{3} - 4$$