+ B AABC AB = AC, LCAB=30°, AE-биссек- триса В ВЕ=8 сом. Найдите площадь

4. В треугольнике ABC AB = AC, ∠CAB = 30°, AE - биссектриса, BE = 8 см. Найти площадь треугольника ABC.

Так как AB = AC, треугольник ABC - равнобедренный. AE - биссектриса, значит, ∠CAE = ∠BAE = 30°/2 = 15°.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также высотой и медианой. Значит, AE ⊥ BC и BE = EC.

Таким образом, BC = 2 * BE = 2 * 8 = 16 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE:$$\tan ∠BAE = \frac{BE}{AE}$$.$$\tan 15° = \frac{8}{AE}$$.

Выразим AE: $$AE = \frac{8}{\tan 15°}$$.

$$\tan 15° = 2 - \sqrt{3}$$, тогда $$AE = \frac{8}{2 - \sqrt{3}} = \frac{8(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{8(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 8(2 + \sqrt{3}) = 16 + 8\sqrt{3}$$.

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AE$$.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot (16 + 8\sqrt{3}) = 8(16 + 8\sqrt{3}) = 128 + 64\sqrt{3}$$.

Ответ: $$128 + 64\sqrt{3}$$