B5. BH = 9 – высота равнобедренной трапеции ABCD (AD||BC), HD = 13. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD || BC, BH - высота, BH = 9, HD = 13.

1. Т.к. трапеция равнобедренная, то AH = KD = x, где KD - высота, опущенная из вершины C на основание AD.
2. Тогда HK = BC = 13 - x.
3. Основание AD = AH + HK + KD = x + (13 - x) + 13 = 26.
4. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot BH$$.
5. Вычислим площадь трапеции: $$S = \frac{26+13-x}{2} \cdot 9 = \frac{39-x}{2} \cdot 9$$

Из условия недостаточно данных для нахождения площади трапеции. Допустим, что AH = x = 5, тогда площадь трапеции равна

$$S = \frac{39-5}{2} \cdot 9 = \frac{34}{2} \cdot 9 = 17 \cdot 9 = 153$$

Если AH = KD = х, то $$S_{ABCD} = \frac{BC+AD}{2} \cdot BH$$, $$AD = BC + 2HD$$.

$$BC = AD - 2HD$$, $$S_{ABCD} = \frac{AD + AD - 2HD}{2} \cdot BH = \frac{2AD - 2HD}{2} \cdot BH = (AD - HD) \cdot BH$$

Так как трапеция равнобедренная, то $$\triangle ABH = \triangle CDK$$. $$AH = DK = x$$. Тогда BC = AD - 2x = HD - x, следовательно AD = x +13, BC = HD - x.

$$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot BH \Rightarrow S = \frac{(x+13)+(13-x)}{2} \cdot 9$$

$$S = \frac{26}{2} \cdot 9 = 13 \cdot 9 = 117$$

Ответ: 117