б) Дана геометрическая прогрессия 1; 1/2; 1/4; 1/8; ... Найдите S8; Sn

Решение:

Для геометрической прогрессии с первым членом b₁ и знаменателем q, сумма n первых членов Sn вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \]

В нашей прогрессии b₁ = 1, q = (1/2) / 1 = 1/2.

Сумма первых восьми членов (S₈):

\[ S_8 = \frac{1(1 - (\frac{1}{2})^8)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{256}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot (1 - \frac{1}{256}) = 2 \cdot \frac{255}{256} = \frac{255}{128} = 1\frac{127}{128} \]

Общая формула для суммы n членов (Sn):

\[ S_n = \frac{1(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = 2(1 - (\frac{1}{2})^n) \]