667. Определите, сколько зерен пшеницы должен был отдать принц из описанной в тексте легенды за половину шахматной доски.

Решение:

По легенде, на первую клетку кладут 1 зерно, на вторую – 2, на третью – 4, и так далее, каждый раз удваивая количество зерен. Это геометрическая прогрессия, где первый член b₁ = 1, а знаменатель q = 2.

Нам нужно найти сумму зерен на первых 32 клетках (половина шахматной доски). Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

Подставляем n = 32, b₁ = 1, q = 2:

\[ S_{32} = \frac{1(2^{32} - 1)}{2 - 1} = 2^{32} - 1 \]

Вычисляем 2^32 - 1:

\[ 2^{32} - 1 = 4294967296 - 1 = 4294967295 \]