б) Из пу пункта А в одном направлении выехали одновременно с одинаковой скоростью два мотоциклиста. Через 30 мин после начала движения у одного из них случился прокол и ему пришлось остановиться для замены колеса. Потратив на это 15 мин, он продолжил движе-ние, увеличив первоначальную скорость на 10 км/час, догнал мотоциклиста, двигавшегося без остановок. Определите, на каком расстоянии от пункта А он догнал другого мотоцикли-ста, если с момента их выезда из пункта А прошло ровно 2 часа.

Разбираемся:

Пусть первоначальная скорость мотоциклистов равна \(v\) км/ч.

Время, через которое у одного мотоциклиста случился прокол \(t_1 = 30\) мин = 0.5 часа.

Время на замену колеса \(t_2 = 15\) мин = 0.25 часа.

Увеличенная скорость \(v + 10\) км/ч.

Общее время в пути \(T = 2\) часа.

Составим уравнения:

Расстояние, которое проехал первый мотоциклист до момента прокола: \( 0.5v \)

Время, которое потратил первый мотоциклист после прокола: \( 2 - 0.5 - 0.25 = 1.25 \) часа.

Расстояние, которое проехал первый мотоциклист после прокола: \( 1.25(v + 10) \)

Общее расстояние, которое проехал первый мотоциклист: \( 0.5v + 1.25(v + 10) \)

Расстояние, которое проехал второй мотоциклист: \( 2v \)

Поскольку в момент встречи они находятся на одном и том же расстоянии от пункта А, получаем:

\( 0.5v + 1.25(v + 10) = 2v \)

Раскроем скобки:

\( 0.5v + 1.25v + 12.5 = 2v \)

Упростим:

\( 1.75v + 12.5 = 2v \)

\( 0.25v = 12.5 \)

\( v = \frac{12.5}{0.25} = 50 \) км/ч.

Расстояние, на котором первый мотоциклист догнал второго, равно \( 2v = 2 \cdot 50 = 100 \) км.

Ответ: 100 км