B1. В треугольнике ABC ∠C = 45°, АВ = 10 см, а высота AD делит сторону СВ на отрезки CD = 8 см, DB = 6 см. Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную к стороне AB.

Разберем задачу B1. Для начала найдем сторону CB, так как она состоит из отрезков CD и DB. 1. Найдем длину стороны CB: (CB = CD + DB = 8 + 6 = 14) см 2. Найдем площадь треугольника ABC. Площадь треугольника можно найти по формуле: (S = \frac{1}{2} cdot a cdot b cdot \sin(\gamma)), где a и b - стороны треугольника, а \(\gamma\) - угол между ними. В нашем случае: (a = CB = 14) см, (b = CA), угол \(\gamma = 45^\circ\). Чтобы найти площадь, нам нужно знать длину стороны CA. Для этого рассмотрим треугольник ADC. Он прямоугольный, так как AD - высота. Используем определение синуса угла: \[\sin(\angle C) = \frac{AD}{AC}\] \[\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Значит, \[AC = \frac{AD}{\sin(45^\circ)}\] Нам нужно найти AD. Рассмотрим треугольник ADB. По теореме Пифагора: (AB^2 = AD^2 + DB^2) (10^2 = AD^2 + 6^2) (100 = AD^2 + 36) (AD^2 = 100 - 36 = 64) (AD = \sqrt{64} = 8) см Теперь найдем AC: (AC = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8 cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}) см Теперь можно найти площадь треугольника ABC: (S = \frac{1}{2} cdot CB cdot AC cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} cdot 14 cdot 8\sqrt{2} cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} cdot 14 cdot 8 = 7 cdot 8 = 56) см(^2) 3. Найдем высоту, проведенную к стороне AB. Площадь треугольника можно также найти по формуле: (S = \frac{1}{2} cdot AB cdot h), где h - высота, проведенная к стороне AB. (56 = \frac{1}{2} cdot 10 cdot h) (56 = 5h) (h = \frac{56}{5} = 11.2) см Ответ: Площадь треугольника равна 56 см(^2), высота, проведенная к стороне AB, равна 11.2 см.