B3. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные из вершин при основании, при пересечении образуют угол, равный 140°. Найдите угол, противолежащий основанию.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC. Высоты, проведенные из вершин A и C, пересекаются в точке O. Угол между высотами равен 140°, то есть $$\angle AOC = 140°$$. Четырехугольник, образованный высотами и сторонами, можно рассмотреть, чтобы найти угол при вершине B. Пусть основания высот на сторонах BC и AB будут H1 и H2 соответственно. Тогда $$\angle AH_2C = 90°$$ и $$\angle CH_1A = 90°$$. Рассмотрим четырехугольник $$AH_2OH_1C$$. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Поэтому: $$\angle H_2AH_1 + \angle AH_2O + \angle H_2OH_1 + \angle OH_1C = 360°$$ $$\angle A + 90° + 140° + 90° = 360°$$ $$\angle A + 320° = 360°$$ $$\angle A = 40°$$ Так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны, то есть $$\angle A = \angle C = 40°$$. Тогда угол B можно найти как: $$\angle B = 180° - (\angle A + \angle C) = 180° - (40° + 40°) = 180° - 80° = 100°$$ Ответ: Угол, противолежащий основанию, равен 100°.