B1. Докажите, что при любом натуральном x выражение \(x^3 + 3x^2 + 2x\) делится на 6.

Решение:

Рассмотрим выражение \(x^3 + 3x^2 + 2x\). Вынесем общий множитель \(x\):

\(x(x^2 + 3x + 2)\)

Разложим квадратный трехчлен \(x^2 + 3x + 2\) на множители. Найдем корни уравнения \(x^2 + 3x + 2 = 0\).

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\).

Корни: \(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1\) и \(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = -2\).

Значит, \(x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x+1)(x+2)\).

Исходное выражение примет вид:

\(x(x+1)(x+2)\)

Это произведение трех последовательных натуральных чисел.

Среди любых трех последовательных натуральных чисел:

1. Всегда есть одно число, делящееся на 3.
2. Всегда есть хотя бы одно число, делящееся на 2 (четное).

Так как одно из чисел делится на 3, а другое на 2, то их произведение делится на \(3 \cdot 2 = 6\).

Таким образом, выражение \(x^3 + 3x^2 + 2x\) делится на 6 при любом натуральном \(x\).

Доказано.