B1. В параллелограмме \(ABCD\) дано: \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), \(E\in AD\), \(AE:ED=3:2\), \(F\in CD\), \(DF:CF=2:1\). Выразите вектор \(\overrightarrow{EF}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{AD}=\vec b\) и \(\overrightarrow{DC}=\vec a\).

Из отношения \(AE:ED=3:2\) следует \(\overrightarrow{AE}=\frac35\vec b\).

Из отношения \(DF:CF=2:1\) следует \(\overrightarrow{DF}=\frac23\vec a\).

Перейдём от \(E\) к \(F\) через векторные координаты относительно точки \(A\): \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=\vec b+\frac23\vec a\). Тогда \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\frac23\vec a+\frac25\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{EF}=\frac23\vec a+\frac25\vec b\).