B12 Протяженность шоссе между пунктами А и В составляет 18 км. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 2 ч. Найдите скорость (в км/ч) пешехода с наибольшей скоростью, если один из них пришел в пункт В на 0,9 ч позже, чем другой в пункт А.

Дано:

• Расстояние между А и В: S = 18 км.
• Пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу.
• Время до встречи: t_{встречи} = 2 ч.
• Разница во времени прибытия: Δt = 0,9 ч.

Найти:

• Скорость пешехода с наибольшей скоростью (V_max).

Решение:

1. Обозначим:
   • v₁ — скорость пешехода, вышедшего из А.
   • v₂ — скорость пешехода, вышедшего из В.
2. Скорость сближения: v_{сближения} = v₁ + v₂.
3. Расстояние = скорость * время: 18 = (v₁ + v₂) * 2.
4. Найдем сумму скоростей: v₁ + v₂ = 18 / 2 = 9 км/ч.
5. Рассмотрим время прибытия:
   • Пусть пешеход 1 (из А) пришел в В. Время в пути: t₁ = S / v₁ = 18 / v₁.
   • Пусть пешеход 2 (из В) пришел в А. Время в пути: t₂ = S / v₂ = 18 / v₂.
6. По условию, один пришел на 0,9 ч позже другого. Пусть v₁ > v₂, тогда пешеход 2 пришел раньше.
   • t₁ - t₂ = 0,9
   • 18/v₁ - 18/v₂ = 0,9
7. Из уравнения v₁ + v₂ = 9, выразим v₁: v₁ = 9 - v₂.
8. Подставим в уравнение разницы во времени:
   • 18 / (9 - v₂) - 18 / v₂ = 0,9
   • Разделим все на 0,9: 20 / (9 - v₂) - 20 / v₂ = 1
   • Умножим на v₂(9 - v₂) для избавления от знаменателей:
   • 20v₂ - 20(9 - v₂) = v₂(9 - v₂)
   • 20v₂ - 180 + 20v₂ = 9v₂ - v₂²
   • 40v₂ - 180 = 9v₂ - v₂²
   • Приведем к квадратному уравнению: v₂² + 31v₂ - 180 = 0
9. Решим квадратное уравнение для v₂:
   • Дискриминант D = 31² - 4(1)(-180) = 961 + 720 = 1681.
   • √D = 41.
   • v₂ = (-31 + 41) / 2 = 10 / 2 = 5 км/ч.
   • v₂ = (-31 - 41) / 2 = -72 / 2 = -36 км/ч (отрицательная скорость не имеет смысла в данном контексте).
10. Итак, v₂ = 5 км/ч.
11. Найдем v₁: v₁ = 9 - v₂ = 9 - 5 = 4 км/ч.
12. Проверим условие разницы во времени:
    • t₁ = 18 / 4 = 4,5 ч.
    • t₂ = 18 / 5 = 3,6 ч.
    • t₁ - t₂ = 4,5 - 3,6 = 0,9 ч. Условие выполнено.
13. Сравним скорости: v₁ = 4 км/ч, v₂ = 5 км/ч.
14. Наибольшая скорость у пешехода, вышедшего из В (v₂).

Примечание: Если бы мы предположили, что v₂ > v₁, то получили бы v₁ = 5 км/ч и v₂ = 4 км/ч, но тогда t₂ - t₁ = 18/4 - 18/5 = 4.5 - 3.6 = 0.9, что также выполняется. Однако, в данном случае, v_max = 5 км/ч.

Перепроверим условие: