B2. 1) Найдите площадь трапеции ABCD: AB = 12, AD = 18, CD = 10, ∠A = 60°, ∠D = 90°. 2) Найдите площадь трапеции ABCD: AB = CD, BC = 12, AD = 22, диагональ AC — биссектриса угла A.

1) Высота трапеции CD = 10. Горизонтальная проекция стороны AB равна 12·cos 60° = 6. Поэтому BC = AD − 6 = 12.

\[S=\frac{AD+BC}{2}\cdot CD=\frac{18+12}{2}\cdot10=150.\]

2) Поскольку AB = CD, трапеция равнобедренная. Разность оснований равна 22 − 12 = 10, поэтому горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны составляет 5. Введём координаты A = (0, 0), D = (22, 0), B = (5, h), C = (17, h).

Диагональ AC делит угол A пополам. Её наклон образует с основанием угол, равный половине угла между AB и основанием. Из равенства наклонов биссектрисы следует, что tan(∠A/2) = h/17, а tan ∠A = h/5. Используя tan ∠A = 2 tan(∠A/2)/(1 − tan²(∠A/2)), получаем h² = 85, то есть h = √85.

\[S=\frac{22+12}{2}\cdot\sqrt{85}=17\sqrt{85}.\]

Ответ: 1) 150; 2) 17√85.