B4. 1) Найдите площадь трапеции ABCD: AB = AD = 20, ∠A = 60°, ∠D = 90°. 2) Найдите площадь трапеции ABCD: BC = 8, AD = 14, AB = CD, диагональ BD — биссектриса угла B.

1) Высота трапеции равна проекции AB на перпендикуляр к основанию: h = 20·sin 60° = 10√3. Горизонтальная проекция AB равна 20·cos 60° = 10, поэтому BC = AD − 10 = 10.

\[S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{20+10}{2}\cdot10\sqrt3=150\sqrt3.\]

2) AB = CD, значит трапеция равнобедренная. Разность оснований равна 14 − 8 = 6, и горизонтальные проекции боковых сторон равны 3. Возьмём B = (3, h), C = (11, h), A = (0, 0), D = (14, 0).

Диагональ BD — биссектриса угла B. Из равенства углов между BD и BA, BD и BC следует равенство соответствующих тангенсов: h/11 = (h/3 − h/11)/(1 + h²/33). Решение даёт h² = 33, следовательно, высота h = √33.

\[S=\frac{14+8}{2}\cdot\sqrt{33}=11\sqrt{33}.\]

Ответ: 1) 150√3; 2) 11√33.