B3. 1) Найдите площадь трапеции ABCD: CD = 9, BC = CD, ∠D = 90°, ∠A = 45°. 2) Найдите площадь трапеции ABCD: BC = 7, AD = 12, AB = CD, диагональ AC — биссектриса угла A.

1) Высота CD = 9, а BC = 9. Так как ∠A = 45°, горизонтальный сдвиг от B до A равен высоте, то есть 9. Поэтому AD = BC + 9 = 18.

\[S=\frac{BC+AD}{2}\cdot CD=\frac{9+18}{2}\cdot9=\frac{243}{2}=121.5.\]

2) AB = CD, значит трапеция равнобедренная. Разность оснований равна 12 − 7 = 5, поэтому горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны равен 2.5.

Положим A = (0, 0), D = (12, 0), B = (2.5, h), C = (9.5, h). Поскольку AC — биссектриса угла A, тангенс половины угла A равен h/9.5. При этом tan ∠A = h/2.5. По формуле двойного угла получаем h² = 2.5·9.5 = 95/4, откуда h = √95/2.

\[S=\frac{12+7}{2}\cdot\frac{\sqrt{95}}{2}=\frac{19\sqrt{95}}{4}.\]

Ответ: 1) 121.5; 2) 19√95/4.