B2. Докажите, что в любом треугольнике сумма двух сторон больше удвоенной медианы, проведённой к третьей стороне.

Пусть в треугольнике со сторонами \(a,b,c\) медиана длины \(m_a\) проведена к стороне \(a\). По теореме Аполлония:

\(4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2\).

Из неравенства треугольника \(a>|b-c|\), поэтому \(a^2>(b-c)^2=b^2+c^2-2bc\). Переносим слагаемые:

\(a^2+2bc>b^2+c^2\).

Тогда

\((b+c)^2=b^2+2bc+c^2>2b^2+2c^2-a^2=4m_a^2\).

Так как обе величины положительны, из этого следует \(b+c>2m_a\). Значит, сумма двух сторон, прилежащих к концам третьей стороны, больше удвоенной медианы, проведённой к этой стороне. Доказательство аналогично для медианы к любой из сторон.