Б2. Оба метода (средний уровень), а) Решите систему методом Крамера и методом Гаусса: x + 2y + 3z = 6; 2x + y + z = 4; 3x + y + 2z = 6.

Метод Крамера. Определитель матрицы коэффициентов равен \(\Delta=\begin{vmatrix}1&2&3\\2&1&1\\3&1&2\end{vmatrix}=4\). Определители для неизвестных: \(\Delta_x=4\), \(\Delta_y=4\), \(\Delta_z=4\). Так как \(\Delta\ne0\), получаем \(x=\Delta_x/\Delta=1\), \(y=\Delta_y/\Delta=1\), \(z=\Delta_z/\Delta=1\).

Метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и выполним преобразования строк:

\[\begin{pmatrix}1&2&3&|&6\\2&1&1&|&4\\3&1&2&|&6\end{pmatrix}\xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-3R_1}\begin{pmatrix}1&2&3&|&6\\0&-3&-5&|&-8\\0&-5&-7&|&-12\end{pmatrix}.\]

Заменим третью строку на \(3R_3-5R_2\):

\[\begin{pmatrix}1&2&3&|&6\\0&-3&-5&|&-8\\0&0&4&|&4\end{pmatrix}.\]

Обратной подстановкой: \(z=1\); из \(-3y-5z=-8\) следует \(y=1\); из \(x+2y+3z=6\) следует \(x=1\).

Ответ: \(x=1,\ y=1,\ z=1\).