Б3. Метод Гаусса (средний уровень), а) Решите систему методом Гаусса: 2x + y − z = 1; x − z = 0; x + y + z = 4.

Запишем расширенную матрицу и исключим неизвестные последовательными преобразованиями строк:

\[\begin{pmatrix}2&1&-1&|&1\\1&0&-1&|&0\\1&1&1&|&4\end{pmatrix}\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2}\begin{pmatrix}1&0&-1&|&0\\2&1&-1&|&1\\1&1&1&|&4\end{pmatrix}\xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-R_1}\begin{pmatrix}1&0&-1&|&0\\0&1&1&|&1\\0&1&2&|&4\end{pmatrix}.\]

Вычтем вторую строку из третьей: \(\begin{pmatrix}1&0&-1&|&0\\0&1&1&|&1\\0&0&1&|&3\end{pmatrix}\). Отсюда \(z=3\), затем из второй строки \(y=-2\), а из первой \(x=3\).

Ответ: \(x=3,\ y=-2,\ z=3\).