B2. Упростите выражение \(\frac{m+2m^{\frac12}+1}{2m^{\frac12}}\cdot\left(\frac{2m^{\frac12}}{m^{\frac12}-1}-\frac{4m^{\frac12}}{m-1}\right)\) и найдите его значение при \(m=16\).

Положим \(x=\sqrt m\). Тогда выражение принимает вид \(\frac{x^2+2x+1}{2x}\left(\frac{2x}{x-1}-\frac{4x}{x^2-1}\right)\).

Разложим на множители: \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Упростим скобки:

\(\frac{2x}{x-1}-\frac{4x}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x(x+1)-4x}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x}{x+1}\).

Тогда всё выражение равно \(\frac{(x+1)^2}{2x}\cdot\frac{2x}{x+1}=x+1=\sqrt m+1\) (при допустимых значениях переменной).

При \(m=16\): \(\sqrt{16}+1=4+1=5\).

Ответ: упрощённое выражение — \(\sqrt m+1\); при \(m=16\) значение равно 5.