B3. 1) AB : BC = 7 : 11, P = 29. Найти AB, BC, AC. 2) RK − RM = 8, P_{△RMK} = 27. Найти RK, RS.

1) Углы A и B равны, поэтому противоположные им стороны BC и AC равны: AC = BC.

Пусть AB = 7x, BC = 11x. Тогда AC = 11x, и периметр равен 7x + 11x + 11x = 29.

29x = 29, поэтому x = 1. Следовательно, AB = 7, BC = 11, AC = 11.

Ответ: AB = 7, BC = 11, AC = 11.

2) По отметкам RK = SK, а KM перпендикулярна RS. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой, поэтому RM = MS и RS = 2RM.

Обозначим RM = x. Тогда RK = x + 8, а из периметра треугольника RMK получаем MK = 27 − x − (x + 8) = 19 − 2x.

Треугольник RMK прямоугольный, поэтому x² + (19 − 2x)² = (x + 8)².

После упрощения: 4x² − 92x + 297 = 0. Корни: x = 11.5 ± √58. Условию MK > 0 соответствует x = 11.5 − √58.

Тогда RK = x + 8 = 19.5 − √58, а RS = 2x = 23 − 2√58.

Ответ: RK = 19.5 − √58, RS = 23 − 2√58.