B4, 1. На рисунке: прямоугольник QRMT, диагональ RT, MK ⟂ RT, ∠MRT = 30°, KT = 5. Найдите стороны прямоугольника.

Треугольник RMT прямоугольный при M. Поскольку \(\angle MRT=30°\), катет MT, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы: \(MT=RT/2\).

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки, причём квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащую проекцию: \(MT^2=RT\cdot KT\).

Подставим \(MT=RT/2\) и \(KT=5\): \((RT/2)^2=5RT\). Отсюда \(RT=20\), а \(MT=10\).

По теореме Пифагора \(RM=\sqrt{RT^2-MT^2}=\sqrt{400-100}=10\sqrt{3}\). Противоположные стороны прямоугольника равны.

Ответ: \(RM=QT=10\sqrt{3}\), \(MT=QR=10\).