B4. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, ∠ACB = 42°, AC = 2AD. Найдите величину угла COD.

Обозначим вектора \(\overrightarrow{AC}=u\), \(\overrightarrow{AD}=v\). Из условия \(|u|=2|v|\). Угол между \(u\) и \(v\) равен 42°, поскольку \(\angle ACB\) образован направлениями, противоположными этим векторам.

Так как диагонали делятся точкой пересечения пополам, направления \(OC\) и \(OD\) задаются векторами \(u\) и \(2v-u\). Их скалярное произведение равно \(2u\cdot v-|u|^2=4|v|^2\cos42^\circ-4|v|^2\), а \(|2v-u|=4|v|\sin21^\circ\). Отсюда косинус угла COD равен \(-\sin21^\circ=\cos111^\circ\).

Ответ: 111°.