B5. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E — на отрезке AD, причём AC = AD и AB = AE. Докажите, что: a) ∠CBD = ∠DEC; б) BD и CE делятся точкой пересечения пополам.

Решение:

а) Доказательство равенства ∠CBD = ∠DEC:

1. Рассмотрим треугольники ABD и AEC.
2. У них AB = AE (по условию), AD = AC (по условию), ∠CAD — общий угол.
3. По двум сторонам и углу между ними (СУС), треугольники ABD и AEC равны.
4. Из равенства треугольников следует, что ∠ABD = ∠AEC.
5. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = AE, треугольник ABE является равнобедренным. Углы при основании BE равны: ∠ABE = ∠AEB.
6. Рассмотрим треугольник CDE. Так как AC = AD, треугольник ACD является равнобедренным. Углы при основании CD равны: ∠ACD = ∠ADC.
7. Углы ∠CBD и ∠ABD являются смежными с ∠ABC. Углы ∠DEC и ∠AEC являются смежными с ∠AEC.
8. Углы ∠CBD и ∠AEC являются внешними углами треугольника ABE при вершинах B и E соответственно.
9. ∠CBD = ∠BAC + ∠AEB (внешний угол треугольника ABE).
10. ∠DEC = ∠CAD + ∠ABE (внешний угол треугольника ABE).
11. Так как ∠BAC = ∠CAD (общий угол) и ∠ABE = ∠AEB (так как треугольник ABE равнобедренный), то ∠CBD = ∠DEC.

б) Доказательство того, что BD и CE делятся точкой пересечения пополам:

1. Пусть точки пересечения BD и CE обозначим как O.
2. Рассмотрим треугольники ABO и AEO.
3. У них AB = AE (по условию), ∠BAO = ∠EAO (общий угол), AO — общая сторона.
4. По трем сторонам (ССС), треугольники ABD и AEC равны.
5. Из равенства треугольников следует, что ∠ADB = ∠ACE.
6. Рассмотрим треугольники BOC и EOD.
7. У них ∠OBC = ∠OED (так как ∠ABD = ∠AEC), ∠BOC = ∠EOD (вертикальные углы).
8. Следовательно, треугольники BOC и EOD подобны по двум углам.
9. Из подобия следует: BO/EO = CO/DO.
10. Рассмотрим треугольники ABO и AEO. AB = AE, AO = AO, ∠BAO = ∠EAO. Следовательно, треугольники ABO и AEO равны по первому признаку равенства треугольников.
11. Отсюда BO = EO и AO = AO (это уже сказано).
12. Рассмотрим треугольники BOC и EOD. Угол ∠BOC = ∠EOD (вертикальные). Угол ∠OBC = ∠OED (т.к. ∠ABD = ∠AEC). Из равенства треугольников ABD и AEC следует, что ∠DBC = ∠ECB.
13. Следовательно, треугольники BOC и EOD равны по второму признаку равенства треугольников (угол, сторона, угол).
14. Из равенства треугольников BOC и EOD следует, что BO = EO и CO = DO.
15. Таким образом, точки O делит отрезки BD и CE пополам.

Что и требовалось доказать.