B7. а) В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что ΔBPC = ΔB₁P₁C₁. б) В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP : PC = A₁P₁ : P₁C₁. Докажите, что ΔBPC = ΔB₁P₁C₁.

Решение:

а) Доказательство равенства ΔBPC = ΔB₁P₁C₁:

1. Дано: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁, AP = A₁P₁.
2. Из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними (СУС) следует, что BC = B₁C₁.
3. Рассмотрим треугольники BPC и B₁P₁C₁.
4. У них BC = B₁C₁ (доказано выше).
5. BP = AB - AP. B₁P₁ = A₁B₁ - A₁P₁.
6. Так как AB = A₁B₁ и AP = A₁P₁, то BP = B₁P₁.
7. Угол ∠B = ∠B₁ (из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁).
8. Следовательно, треугольники BPC и B₁P₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними (СУС).

б) Доказательство равенства ΔBPC = ΔB₁P₁C₁:

1. Дано: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁, AP : PC = A₁P₁ : P₁C₁.
2. Из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними (СУС) следует, что BC = B₁C₁ и ∠B = ∠B₁.
3. Из условия AP : PC = A₁P₁ : P₁C₁ следует, что AP/(AB-AP) = A₁P₁/(A₁B₁-A₁P₁).
4. Пусть AP = x, PC = y. Тогда AB = x+y.
5. Пусть A₁P₁ = x₁, P₁C₁ = y₁. Тогда A₁B₁ = x₁+y₁.
6. Условие AP : PC = A₁P₁ : P₁C₁ можно записать как x/y = x₁/y₁.
7. Также из условия AP = A₁P₁ и AB = A₁B₁.
8. Значит, x = x₁.
9. Так как x/y = x₁/y₁ и x=x₁, то y = y₁.
10. Таким образом, PC = P₁C₁.
11. Теперь рассмотрим треугольники BPC и B₁P₁C₁.
12. У них BC = B₁C₁ (доказано выше), PC = P₁C₁ (доказано выше), ∠B = ∠B₁ (доказано выше).
13. Следовательно, треугольники BPC и B₁P₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними (СУС).

Что и требовалось доказать.