B8. а) На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC. б) На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BAC равна 140°. Определите величину угла BDC.

Решение:

а) Определение величины угла BAC:

1. Пусть AB = AC = AD = r.
2. Так как AD — биссектриса угла BAC, то ∠BAD = ∠CAD. Обозначим этот угол как α. Тогда ∠BAC = 2α.
3. Рассмотрим треугольник ABD. AB = AD = r, поэтому он равнобедренный. Углы при основании BD равны: ∠ABD = ∠ADB.
4. Рассмотрим треугольник ACD. AC = AD = r, поэтому он равнобедренный. Углы при основании CD равны: ∠ACD = ∠ADC.
5. Сумма углов треугольника ABD: ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°. α + 2∠ADB = 180°. ∠ADB = (180° - α)/2 = 90° - α/2.
6. Сумма углов треугольника ACD: ∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180°. α + 2∠ADC = 180°. ∠ADC = (180° - α)/2 = 90° - α/2.
7. Угол BDC = ∠ADB + ∠ADC.
8. 160° = (90° - α/2) + (90° - α/2) = 180° - α.
9. α = 180° - 160° = 20°.
10. Угол BAC = 2α = 2 * 20° = 40°.

б) Определение величины угла BDC:

1. Пусть AB = AC = AD = r.
2. Так как AD — биссектриса угла BAC, то ∠BAD = ∠CAD. Обозначим этот угол как α. Тогда ∠BAC = 2α.
3. По условию ∠BAC = 140°, значит 2α = 140°, α = 70°.
4. Рассмотрим треугольник ABD. AB = AD = r, поэтому он равнобедренный. Углы при основании BD равны: ∠ABD = ∠ADB.
5. Сумма углов треугольника ABD: ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°. α + 2∠ADB = 180°.
6. 70° + 2∠ADB = 180°.
7. 2∠ADB = 180° - 70° = 110°.
8. ∠ADB = 110°/2 = 55°.
9. Рассмотрим треугольник ACD. AC = AD = r, поэтому он равнобедренный. Углы при основании CD равны: ∠ACD = ∠ADC.
10. Сумма углов треугольника ACD: ∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180°. α + 2∠ADC = 180°.
11. 70° + 2∠ADC = 180°.
12. 2∠ADC = 180° - 70° = 110°.
13. ∠ADC = 110°/2 = 55°.
14. Угол BDC = ∠ADB + ∠ADC = 55° + 55° = 110°.

Ответ: а) 40°; б) 110°.