B8. Через легкий блок, вращающийся без трения вокруг неподвижной оси, перекинута невесомая нерастяжимая нить, на концах которой привязаны грузы массами т₁ = 600 г и т₂ = 200 г. Первый груз поднимают на высоту h = 18 см, при которой второй груз касается пола (рис. 42), и отпускают без начальной скорости. Максимальная высота hmax, на которую поднимется груз m₂, после того как груз m₁ ударится о пол, равна ... см.

Решение:

Эта задача решается в два этапа. Сначала рассмотрим движение грузов до момента, когда груз \( m_1 \) коснется пола.

Этап 1: Грузы поднимаются до касания пола грузом \( m_1 \).

Переведем массы грузов в килограммы: \( m_1 = 600 \text{ г} = 0,6 \text{ кг} \), \( m_2 = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг} \). Переведем высоту в метры: \( h = 18 \text{ см} = 0,18 \text{ м} \).

Ускорение системы (аналогично задаче B7) равно:

\( a_1 = \frac{g (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} = \frac{10 (0,6 - 0,2)}{0,6 + 0,2} = \frac{10 \times 0,4}{0,8} = \frac{4}{0,8} = 5 \text{ м/с}^2 \)

Скорость \( v \) грузов в момент, когда \( m_1 \) коснется пола, найдем по формуле:

\( v = a_1 t \) или \( v^2 = 2 a_1 h \) (так как начальная скорость равна 0).

\( v^2 = 2 \times 5 \text{ м/с}^2 \times 0,18 \text{ м} = 1,8 \text{ (м/с)}^2 \)

\( v = \sqrt{1,8} \text{ м/с} \)

Этап 2: Груз \( m_2 \) поднимается после того, как \( m_1 \) коснется пола.

Когда груз \( m_1 \) коснется пола, он перестает участвовать в движении. Теперь груз \( m_2 \) продолжит движение вверх под действием силы тяжести \( m_2 g \) и силы натяжения нити \( F_{ни} \) (которая изменилась, так как \( m_1 \) теперь на опоре). Однако, поскольку блок невесомый и без трения, а нить нерастяжимая, то при подъеме \( m_2 \) на некоторую высоту \( h_{max} \), груз \( m_1 \) будет опускаться на ту же высоту, но уже под действием силы тяжести \( m_1 g \) и силы натяжения \( F_{ни} \).

В момент, когда \( m_1 \) коснулся пола, \( m_2 \) имеет скорость \( v = \sqrt{1,8} \text{ м/с} \) и продолжает двигаться вверх. Теперь система состоит из \( m_1 \) на полу и \( m_2 \) движущегося вверх. Груз \( m_1 \) теперь действует как противовес, но он на полу. Сила натяжения нити будет определяться силой тяжести \( m_1 g \) и ускорением \( m_1 \) (которое равно ускорению \( m_2 \) по модулю).

Для груза \( m_1 \) на полу, действующая сила натяжения \( F_{ни} \) теперь будет создавать ускорение \( a_2 \) для груза \( m_2 \) (вверх) и для груза \( m_1 \) (вниз).

Рассмотрим движение груза \( m_2 \) вверх. Он имеет начальную скорость \( v = \sqrt{1,8} \text{ м/с} \) и замедляется до нуля. Сила, действующая на \( m_2 \) вверх — сила натяжения нити \( F_{ни} \). Сила тяжести \( m_2 g \) направлена вниз. Ускорение \( a_2 \) направлено вниз.

\( m_2 g - F_{ни} = m_2 a_2 \) (3)

Для груза \( m_1 \), который теперь находится на полу, он будет стремиться опуститься, но его останавливает пол. Сила, действующая на \( m_1 \) вниз — \( m_1 g \). Сила натяжения \( F_{ни} \) действует вверх. Однако, поскольку \( m_1 \) уже не движется, мы должны понимать, что сила натяжения будет такой, чтобы поддерживать \( m_2 \).

Рассмотрим энергию. После первого этапа, система имеет кинетическую энергию \( E_k = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \frac{1}{2}(0,6+0,2) \times 1.8 = 0.4 \times 1.8 = 0.72 \text{ Дж} \).

Груз \( m_1 \) коснулся пола. Теперь груз \( m_2 \) движется вверх. Максимальная высота, на которую поднимется \( m_2 \), будет достигнута, когда его скорость станет равна 0. При этом груз \( m_1 \) опустится на ту же высоту (если бы не было пола).

Важно понимать, что в момент, когда \( m_1 \) касается пола, он перестает влиять на ускорение \( m_2 \) через нить, как это было раньше. Теперь \( m_1 \) покоится на полу. Движение \( m_2 \) вверх будет происходить под действием силы натяжения нити \( F_{ни} \) и силы тяжести \( m_2 g \).

Уточнение: Так как блок легкий и без трения, нить невесомая и нерастяжимая, то при движении \( m_2 \) вверх, \( m_1 \) будет опускаться. Когда \( m_1 \) достигает пола, он останавливается. В этот момент \( m_2 \) имеет скорость \( v \). Теперь \( m_2 \) продолжает движение вверх, но сила, которая его тянет, — это разница между силой тяжести \( m_1 g \) (которая действует на другой конец нити) и силой тяжести \( m_2 g \).

Корректное решение:

Этап 1: Грузы движутся с ускорением \( a_1 = 5 \text{ м/с}^2 \) на высоту \( h = 0,18 \text{ м} \). Скорость в конце этого этапа:

\( v = \sqrt{2 a_1 h} = \sqrt{2 \times 5 \times 0,18} = \sqrt{1,8} \text{ м/с} \).

Этап 2: Груз \( m_1 \) касается пола. Теперь он останавливается. Но нить натянута. Груз \( m_2 \) продолжает движение вверх. Сила натяжения нити теперь равна силе тяжести груза \( m_1 \) (поскольку \( m_1 \) покоится на полу и нить нерастяжима).

\( F_{ни} = m_1 g = 0,6 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}^2 = 6 \text{ Н} \).

Теперь рассмотрим движение груза \( m_2 \) вверх. На него действует сила тяжести \( m_2 g = 0,2 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}^2 = 2 \text{ Н} \) (вниз) и сила натяжения нити \( F_{ни} = 6 \text{ Н} \) (вверх).

Ускорение \( a_2 \) направлено вниз (груз замедляется).

\( F_{ни} - m_2 g = m_2 a_2 \) (если бы \( m_2 \) двигался вниз)

Поскольку \( m_2 \) движется вверх, а сила натяжения больше силы тяжести \( m_2 \), то \( m_2 \) будет замедляться. Однако, в данной постановке задачи, \( m_1 \) покоится на полу, значит, он не создает натяжения нити, которое могло бы преодолеть силу тяжести \( m_2 g \) и затем еще и замедлять \( m_2 \).

Переосмысление:

Когда \( m_1 \) касается пола, его движение прекращается. Нить натянута. Теперь на \( m_2 \) действует сила тяжести \( m_2 g \) и сила натяжения нити. Так как \( m_1 \) на полу, сила натяжения нити, действующая на \( m_2 \), равна силе тяжести \( m_1 g \) (если бы \( m_1 \) был подвешен и двигался вниз). Но \( m_1 \) на полу.

Правильный подход:

Работа сил. Начальная кинетическая энергия системы в момент касания пола \( m_1 \) равна \( E_k = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = 0,72 \text{ Дж} \).

После этого \( m_1 \) останавливается. \( m_2 \) продолжает двигаться вверх. Сила, тянущая \( m_2 \) вверх, — это сила натяжения нити. Сила, действующая вниз, — сила тяжести \( m_2 g \).

Важно: сила натяжения нити в этот момент определяется силой тяжести \( m_1 \), так как \( m_1 \) покоится на полу, а нить натянута. Значит, \( F_{ни} = m_1 g = 0,6 \times 10 = 6 \text{ Н} \).

Теперь рассмотрим движение \( m_2 \) вверх. Начальная скорость \( v = \sqrt{1,8} \text{ м/с} \). Силы, действующие на \( m_2 \): \( F_{ни} = 6 \text{ Н} \) (вверх), \( m_2 g = 0,2 \times 10 = 2 \text{ Н} \) (вниз).

Ускорение \( a_2 \) направлено вниз (так как \( F_{ни} > m_2 g \), но \( m_2 \) движется вверх, следовательно, замедляется).

\( F_{ни} - m_2 g = m_2 a_2 \)

\( 6 \text{ Н} - 2 \text{ Н} = 0,2 \text{ кг} \times a_2 \)

\( 4 \text{ Н} = 0,2 \text{ кг} \times a_2 \)

\( a_2 = \frac{4}{0,2} = 20 \text{ м/с}^2 \)

Найдём максимальную высоту \( h_{max} \) подъема \( m_2 \) по формуле:

\( v_{f}^2 = v_{i}^2 + 2 a_2 s \), где \( v_f = 0 \), \( v_i = v = \sqrt{1,8} \text{ м/с} \), \( s = h_{max} \). Ускорение \( a_2 \) направлено против скорости, поэтому \( a_2 = -20 \text{ м/с}^2 \).

\( 0 = (\sqrt{1,8})^2 + 2 (-20 \text{ м/с}^2) h_{max} \)

\( 0 = 1,8 - 40 h_{max} \)

\( 40 h_{max} = 1,8 \text{ м} \)

\( h_{max} = \frac{1,8}{40} = \frac{18}{400} = \frac{9}{200} = 0,045 \text{ м} \)

Переведем в сантиметры: \( h_{max} = 0,045 \text{ м} \times 100 \text{ см/м} = 4,5 \text{ см} \).

Ответ: 4,5 см.