3. (1 балл) На рисунке 3 ∠1 = ∠2, BD 1 AC, AC – биссектриса угла ВАЕ. Докажите, что прямые ВС и АЕ параллельны.

Дано: ∠1 = ∠2, BD ⊥ AC, AC – биссектриса угла ВАЕ.

Доказать: BC || AE.

Доказательство:

Т.к. AC - биссектриса угла ВАЕ, то ∠BAC = ∠CAE.

Т.к. BD ⊥ AC, то ∠BDA = ∠BDC = 90°.

Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔCBD.

1. BD - общая сторона.
2. ∠1 = ∠2 (по условию).
3. ∠BDA = ∠BDC = 90°.

Следовательно, ΔABD = ΔCBD (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что AB = BC и AD = CD.

Следовательно, ΔABC - равнобедренный, т.к. AB = BC.

Тогда углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

∠CAE = ∠BAC (т.к. AC - биссектриса угла ВАЕ)

Значит, ∠CAE = ∠BCA.

Эти углы являются накрест лежащими при прямых BC и AE и секущей AC.

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, BC || AE.

Ответ: BC || AE.