4. (1 балл) На рисунке 4 ∠EDC = 55°. Найдите градусную меру угла А треугольника АВС.

Дано: ∠EDC = 55°.

Найти: градусную меру угла А треугольника АВС.

Решение:

Рассмотрим треугольник EDC: ∠EDC = 55°.

BD - высота треугольника ABC, следовательно, ∠BDC = 90°.

∠BDE - смежный с углом ∠EDC, следовательно,

∠BDE + ∠EDC = 180°.

∠BDE = 180° - ∠EDC = 180° - 55° = 125°.

∠ADB = 90° (т.к. BD - высота).

∠ADE = ∠BDE - ∠ADB = 125° - 90° = 35°.

Т.к. AD = DE, то треугольник ADE - равнобедренный, углы при основании равны: ∠DAE = ∠DEA.

Сумма углов треугольника ADE равна 180°.

∠ADE + ∠DAE + ∠DEA = 180°.

35° + ∠DAE + ∠DAE = 180°.

2∠DAE = 180° - 35° = 145°.

∠DAE = 145° / 2 = 72,5°.

∠DAE = ∠A = 72,5°.

Ответ: ∠A = 72,5°.