6. (3 балла) Высота треугольника МИК является медианой треугольника TNQ, МТ = QK (рис. 6). 1) Докажите, что треугольник МИК равнобедренный. 2) Найдите 23, если 22 + 21-24 = 30°.

Дано: Высота треугольника MNK является медианой треугольника TNQ, MT = QK.

Доказать: 1) Треугольник MNK равнобедренный. 2) Найти ∠3, если ∠2 + ∠1 - ∠4 = 30°.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник TNQ.

Высота треугольника MNK является медианой треугольника TNQ, следовательно, NT = NQ, треугольник TNQ - равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠T = ∠Q.

MT = QK (по условию).

NT = NQ.

NT - MT = NQ - QK.

NM = NK.

Следовательно, треугольник MNK - равнобедренный, т.к. NM = NK.

2) NM = NK, следовательно, углы при основании равны: ∠1 = ∠4.

∠2 + ∠1 - ∠4 = 30° (по условию).

∠2 + ∠1 - ∠1 = 30°.

∠2 = 30°.

Треугольник TNQ - равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: ∠T = ∠Q.

∠T = ∠1 + ∠2 = ∠1 + 30°.

∠Q = ∠3 + ∠4 = ∠3 + ∠1.

∠1 + 30° = ∠3 + ∠1.

∠3 = 30°.

Ответ: 1) Треугольник MNK - равнобедренный. 2) ∠3 = 30°.